Masse kan representeres som tetthet ganger volum, og under de fleste forhold kan vann betraktes som inkompressibel (tetthet er ikke avhengig av trykk). Massefluksene over grensene blir da volumfluxer(som finnes I Darcys lov). Ved Å bruke Taylorrekken til å representere inn-og ut-fluksbetingelsene over grensene til kontrollvolumet, og ved å bruke divergensteoremet til å snu fluxen over grensen til en flux over hele volumet, er den endelige formen av grunnvannsstrømningsligningen (i differensialform) :
S s ∂ h ∂ t = − ∇ ⋅ {\displaystyle s_{s}{\frac {\partial h}{\partial t}}=-\nabla \cdot q-G.}
Dette er kjent i andre felt som diffusjonsligningen eller varmeligningen, det er en parabolisk partiell differensialligning (pde). Denne matematiske setningen indikerer at endringen i hydraulisk hode med tiden (venstre side) er lik den negative divergensen av fluxen (q) og kildebetingelsene (G). Denne ligningen har både hode og fluks som ukjente, Men Darcys lov relaterer fluks til hydrauliske hoder, så å erstatte den i for fluks (q) fører til
S s ∂ h ∂ t = − ∇ ⋅ (−k ∇ h) – g . {\displaystyle S_{s} {\frac {\partial h} {\partial t}}=- \ nabla \ cdot (- K \ nabla h) – G.}
nå, Hvis hydraulisk ledningsevne (K) er romlig jevn og isotrop (i stedet for en tensor), kan den tas ut av det romlige derivatet, forenkle dem til Laplacian, dette gjør ligningen
S s ∂ h ∂ t = K ∇ 2 h − G . {\displaystyle s_{s}{\frac {\partial h}{\partial t}}=K\nabla ^{2}h-g.}
Dividere gjennom med spesifikk lagring (Ss), setter hydraulisk diffusivitet (α = k/ss Eller Tilsvarende, α = t/s) på høyre side. Den hydrauliske diffusiviteten er proporsjonal med hastigheten der en endelig trykkpuls vil forplante seg gjennom systemet (store verdier av α fører til rask forplantning av signaler). Grunnvannsstrømningsligningen blir da
∂ h ∂ t = α ∇ 2 h − g . {\displaystyle {\frac {\partial h}{\partial t}}=\alpha \nabla ^{2}h-G.}
hvor vasken/kildebegrepet, G, nå har de samme enhetene, men er delt med riktig lagringstid (som definert av den hydrauliske diffusivity substitusjon).
Rektangulær kartesisk koordinatredigert
Tredimensjonal endelig forskjell grid brukt I MODFLOW
Spesielt Når du bruker rektangulære rutenett endelig forskjell modeller (F.EKS MODFLOW, laget av usgs), håndterer vi kartesiske koordinater. I disse koordinatene blir den Generelle Laplaciske operatøren (for tredimensjonal flyt) spesifikt ∂ h ∂ t = α-G . {\displaystyle {\frac {\partial h} {\partial t}}= \ alfa \ venstre-G.}
MODFLOW-kode diskretiserer og simulerer en ortogonal 3d-form av den styrende grunnvannsflytligningen. Det har imidlertid et alternativ å kjøre i en» kvasi-3d » – modus hvis brukeren ønsker å gjøre det; i dette tilfellet omhandler modellen vertikalt gjennomsnittlig t og S, i stedet for k og Ss. I kvasi – 3d-modus beregnes strømmen mellom 2d horisontale lag ved hjelp av begrepet lekkasje.
Sirkulære sylindriske koordinaterrediger
Et annet nyttig koordinatsystem er 3d sylindriske koordinater (vanligvis hvor en pumpebrønn er en linjekilde plassert ved opprinnelsen — parallelt med z — aksen-forårsaker konvergerende radial strømning). Under disse forholdene blir ligningen ovenfor (r blir radial avstand og θ vinkel),
∂ h ∂ t = α-G . {\displaystyle {\frac {\partial h} {\partial t}}= \ alfa \ venstre-G.}
AssumptionsEdit
denne ligningen representerer flyt til en pumpebrønn (en vask av styrke G), plassert ved opprinnelsen. Både denne ligningen og Den Kartesiske versjonen ovenfor er den grunnleggende ligningen i grunnvannsstrømmen, men for å komme frem til dette punktet krever betydelig forenkling. Noen av de viktigste forutsetningene som gikk inn i begge disse ligningene er:
- akvifermaterialet er inkompressibelt (ingen endring i matrisen på grunn av endringer i trykk — aka nedsettelse),
- vannet har konstant tetthet (inkompressibelt),
- eventuelle eksterne belastninger på akvariet (f.eks. overbelastet, atmosfærisk trykk) er konstant,
- for det 1d radiale problemet pumpebrønnen penetrerer fullt ut en ikke-lekkende akvifer,
- grunnvannet strømmer sakte (Reynolds nummer mindre enn enhet), og
- den hydrauliske konduktiviteten (k) er en isotrop skalar.